К изучению геометрии приступают в седьмом классе. Обучение начинается с рассмотрения свойств самой распространенной геометрической фигуры, которой является треугольник. В нем можно провести несколько основных линий, обладающих определенными свойствами. К ним относятся медиана и биссектриса. Также важные функции несут на себе высота и средняя линия. Свойства, которыми они обладают позволяют решить многие математические задачи и определить численные значения основных элементов геометрической фигуры. Важно хорошо понимать их свойства, чтобы отличать предназначение.
Содержание
Определения основных понятий, которые связаны с треугольником
Отрезок, соединяющий вершину с серединой расположенной напротив стороны, получил название медианы. Это слово произошло от латинского mediana (середина).
Данное понятие не имеет ничего общего с географическим термином меридиан, обозначающим кривую сечения поверхности Земли плоскостью, проходящей через ось симметрии. Также оно не связана с термином медиа, обозначающим средства коммуникации в современном мире.
- Биссектрисой называют отрезок, делящий угол пополам.
- Высотой принято называть перпендикуляр, который опускается из вершины на лежащую напротив сторону.
- Черта, соединяющая середины линейных элементов, получила название средней линии.
Все линии являются важными элементами треугольной конфигурации. Чтобы установить, чем отличается медиана от биссектрисы и высоты, необходимо детально изучить свойства каждого из введенных понятий.
Базовое свойство биссектрисы
В общем случае так называется луч, начинающийся в вершине угла и делящий его пополам. Она объединяет все объекты в пространстве, расстояние от которых до границ угла одинаково.
Говоря простыми словами, это означает, что:
- любой элементарный объект, принадлежащий такому лучу, находится на одинаковом расстоянии от границ угла;
- если от выбранного объекта до границ угла расстояние совпадает, то он расположен на определенном таким образом луче.
Нужно сформулировать понятие расстояния между элементарным объектом и прямой. Естественно назвать расстоянием до прямой минимальную дистанцию от выбранного предмета до прямой. Такой минимальной дистанцией оказывается длина перпендикуляра, проведенного на прямую.
Для доказательства этого факта достаточно провести перпендикулярные отрезки на угловые границы.
В результате образуются два треугольника, которые равны по второму признаку равенства таких фигур. В равных фигурах все элементы совпадают по величине, поэтому совпадают и длины перпендикуляров, опущенных на границы.
Обратное утверждение также является справедливым. Любая точка внутри угла, находящаяся на равном удалении от границ, лежит на центральном луче. Опуская два перпендикуляра на угловые границы, получаем две одинаковых прямоугольных конфигурации, у которых совпадают по два линейных элемента (перпендикуляры равны по условию, а другой линейный элемент — общий для рассмотренных объектов).
Существуют также другие полезные соотношения, которые помогают решать задачи. Биссектриса разделяет сторону треугольного объекта на части. Отношение длин этих частей равно отношению сторон, образующих исходную вершину.
Кроме того, площади, на которые она делит исходный объект, относятся как длины отрезков, на которые делится противоположная сторона.
Основные свойства медианы
Отличие медианы от биссектрисы состоит в том, что первая делит на одинаковые части противоположную сторону. Она разделяет исходную конфигурацию на равновеликие части. Так называются геометрические конфигурации, которые имеют одинаковую площадь.
Треугольный объект, у которого один из углов составляет девяносто градусов, получил название прямоугольного.
Медиана, проведенная из прямого угла, имеет длину в два раза меньше длины противоположной стороны. В результате она делит исходную конфигурацию на два равнобедренных треугольника.
В какой треугольной фигуре все основные элементы совпадают?
Равнобедренным называют треугольный объект, у которого длины двух линейных составляющих совпадают. Такие конфигурации обладают дополнительными свойствами.
Чтобы доказать данное утверждение, нужно рассмотреть треугольные фигуры, образующиеся в результате. Конфигурации равны, потому что у них имеется по три совпадающих элемента.
Из их равенства легко сделать вывод, что биссектриса делит лежащую напротив сторону на одинаковые части, то есть выполняет одновременно функцию медианы.
Два смежных угла, которые образуются при ее пересечении с лежащей напротив стороной равны (потому что треугольники, в которых они находятся, равны) и в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, каждый из них имеет величину 90 градусов.
Получается, что она также выполняет функции высоты. Треугольник, имеющий три совпадающих по длине линейных элемента, называется равносторонним. В такой конфигурации нет разницы между всеми перечисленными выше отрезками.
Количество биссектрис
Биссектрису в треугольной фигуре можно опустить из любой вершины, поэтому общее количество таких линий равно трем. Они имеют одну общую точку, которая получила название замечательной (или интересной).
Биссектриса представляет собой множество точек, расположенных на равной дистанции от границ угла, из которого она проведена. Место, где пересекаются две такие линии треугольника, одинаково удалено от всех линейных составляющих треугольной фигуры.
Следовательно, пересечение двух таких линий лежит на третьей биссектрисе по основному свойству этой линии. В результате место пересечения трех этих отрезков в треугольной фигуре обладает следующим свойством: здесь находится центр окружности, вписанной в рассматриваемую фигуру.
Количество медиан
В треугольной фигуре существуют три медианы, пересекающиеся в одном месте, которое является второй замечательной точкой.
В этом месте каждая линия делится в отношении один к двум. Отрезок от вершины до места пересечения в два раза больше отрезка от места пересечения до стороны. Место пересечения этих линий совпадает с центром тяжести треугольника. Три делящих пополам стороны отрезков разбивают исходную конфигурацию на шесть частей, имеющих одинаковую площадь.
Остальные интересные точки треугольника
Следует коротко остановиться на двух других интересных местах пересечения, которые обладают характерными особенностями.
Перпендикулярная линия, исходящая из середины отрезка, называется серединным перпендикуляром. Легко доказать, что такие перпендикуляры объединяют все предметы в пространстве, находящиеся на одинаковой дистанции от концов отрезка (вершин).
Серединные перпендикуляры пересекаются в третьей интересной точке. Она совпадает с центром окружности, которую можно описать вокруг треугольной фигуры. Информация о центре описанной окружности необходима для решения многих задач.
Четвертой замечательной точкой называется место пересечения высот. Они пересекаются в одном месте, получившем название ортоцентр.
Видео по теме статьи
Основы геометрии треугольника в видеоролике ниже.
Заключение
Подводя итоги, можно сделать следующие выводы. Биссектриса и медиана являются важными элементами треугольника. Они имеют много общего:
- Существует одинаковое количество таких линий (по три).
- Соответствующие линии пересекаются в одной точке (замечательные точки).
- Они выходят из вершины и заканчиваются на противоположной стороне.
- Разделяют элементы исходного объекта пополам.
- Их характерные черты используются для решения задач по геометрии.
- Существуют особые выделенные случаи, когда все основные элементы совпадают.
Также можно определить, чем отличается медиана от биссектрисы в треугольнике. Первый объект разделяет угол на равные части, а противоположная сторона делится на неравные отрезки. Второй объект разделяет противоположную сторону на равные отрезки, а угол делится на неравные части. Поэтому различие состоит в свойствах и функциях этих двух важных отрезков.
