Рассматриваемые понятия включены в темы, которые проходятся в курсе математического анализа. Обе они связаны с преобразованиями функции и операциями внутри нее. Важно разобраться в терминах дифференциал и производная, в чем разница между ними, имеется ли связь. Только в этом случае можно будет без проблем подготовиться к экзаменам.
Содержание
Что такое дифференциал?
Прежде чем выяснить, чем дифференциал отличается от производной, нужно дать определения обоим понятиям.
Дифференциал (от лат. Differentia — разность) — это главная линейная часть приращения функции. Если y = f(x) одного переменного x имеет при x=x0 переменную, то приращение
∆γ=f(x0+ ∆x)-f(x0)
функции f(x) можно представить в виде
∆y=f'(x0)∆x+R(∆x),
где член R бесконечно мал по сравнению с ∆x. Первый член (dy=f'(x0)∆x) в этом разложении и называется дифференциалом f(x) в точке x0.
Разобрав формулу, можно заметить, что дифференциал dy находится в линейной зависимости от приращения переменной ∆x, которая независима.
Равенство ∆y=dy+R(∆x) показывает, как данный дифференциал является основным элементом приращения.
Дифференциал функции
Дифференциал — это линейная часть приращения функции. Дифференциал y = f(x) равен произведению на приращение независимой переменной x.
dy=y’∆x или df(x)=f'(x)∆x
Геометрический и физический смысл
Дифференциал графика y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в некоторой точке, при изменении аргумента на величину ∆x=dx.
Пусть точка с координатами (x,y) — произвольная точка функции y=f(x). Тогда аргумент — x, а приращение — ∆x, значит исходный график получит приращение ∆y=f(x+∆x)-f(x).
Если провести касательную через точку с координатами (x,y), то образуется угол α, значит искомое значение равно tg α.
Тогда получается, что ∆x*tgα=f'(x)∆x.
Что такое производная?
Производная — это предел при x→0 отношения приращения на осях (x,y) ∆y к приращению её аргумента ∆x. В случае стремление аргумента к нулю, если такой предел возможен.
Дифференцирование — это процесс определения скорости на графике с осями (x,y). Если дано выражение f(x), то рассматриваемое понятие равно f’(x).
Отличие дифференциала от производной в том, что в первом случае выполняется операция двух линейных значений, а во втором происходит сопоставление двух значений.
Чем дифференциал отличается от производной — простой пример: автомобиль проезжает за час 100 км, логично, что скорость равна 100 км/ч. Однако, когда человек едет на машине, спидометр показывает скорость, но она ведь не сразу равна 100 км/ч. Движение начинается с нулевой скорости, а затем меняется в зависимости от внешних обстоятельств. Так вот скорость изменения показателей спидометра и есть рассматриваемое значение.
Стандартные арифметические свойства
Для того, чтобы осуществлять вычислительные действия с переменными, нужно знать основные арифметические свойства этой математической единицы.
- Производная некой постоянной равна нулю: (с)’=0.
- Алгебраическая сумма (разность) двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме (разности) производных слагаемых: (u±v)’=u’±v’.
- Произведение двух дифференцируемых графиков равно сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый: (u*v)’=u’*v+v’*u.
Частное двух дифференцируемых функций равна дроби, знаменатель в которой это квадрат знаменателя данной дроби, а числитель представляет собой разность между произведением знаменателя данной дроби на производную ее числителя и произведением числителя на производную знаменателя.
Эти свойства являются основополагающими в теме. Без них невозможно производить более сложные операции с графиками.
Геометрический смысл
Геометрический смысл переменной может понадобиться при аналитическом способе решения тех или иных математических задач. Например, это упростит нахождение значений параметров.
Геометрический смысл рассматриваемого понятия: если к графику функции у = f(x) в некоторой точке х0 проведена касательная, непараллельная оси у, то значение переменной в точке касания есть tg α, образованного этой касательной с положительным направлением оси абсцисс или угловой коэффициент касательной. В функции в некоторой точке — это угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.
Односторонние и бесконечные производные
Пусть х — правый или левый конец промежутка, в пределах области определения выражения. Тогда при вычислении предела отношения ∆y/∆x в некоторой крайней точке можно рассматривать только случай ∆x→+0, а в противоположной крайней точке — только случай ∆x→-0. Эти значения называются односторонними переменными справа или слева. Графики будут иметь в этих случаях односторонние касательные.
Во внутренней точке некоторого промежутка пределы отношения ∆y/∆x существуют при ∆x→+0 и при ∆x→-0, но не равны между собой. Это означает, что определить скорость в данной точке невозможно, полученные пределы в этом случае называются односторонними справа и слева.
Если предел отношения ∆y/∆x при ∆x→0, равен ¥ (или +¥, или -¥), то эти несобственные числа — те переменные, которые обозначаются как обычные переменные. Геометрически это означает, что график выражения в соответствующей точке имеет касательную, параллельную оси 0у.
Разница
Зная все понятия, свойства и признаки, можно отличить два математических понятия друг от друга. Ключевая разница между терминами дифференциал и производная заключается в физической сущности понятий. Первое — это изменение функции, а второе — скорость ее изменения.
С точки зрения математического анализа:
- слово дифференциал означает линейную часть приращения на осях (x,y);
- а производная показывает предел отношения приращения на осях (x,y) к приращению аргумента, стремящегося к нулю.
Дифференциал выражения равен произведению производной функции в некой точке и дифференциала тождественной значению переменной аргумента в этой некой точке. Эти точки находятся в области определения.
Видео по теме статьи
В видеоролике ниже семинар 1 семестра на тему дифференциал и производная.
Заключение
Разница между дифференциалом и производной достаточно ясна и понятна, если качественно разобраться в материале и применять полученные знания на практике. В таком случае ученик с легкостью сможет осилить не только математические задачи, но и физические. Самое важное — понять принцип, по которому осуществляются те или иные математические операции. Поскольку рассматриваемая тема изучается в старшей школе, то она носит профильных характер. Знания пригодятся тем, кто в будущем планирует получать профессию в сфере промышленности, программирования, новых технологий.
